Konsep Dasar Probabilitas 4 : Permutasi dan Kombinasi

A.  Pengertian Probabilitas

Probabilitas atau Peluang adalah : derajat atau tingkat kepastian atau keyakinan dari munculnya hasil percobaan statistic. Suatu probabilitas dilambangkan dengan P

P(A)=m/n

0<P(A)<1

Jika P(A)= 0 bahwa kejadian A tidak terjadi

       P(A)= 1  bahwa kejadian A pasti terjadi

a.   Konsep probabilitas

1.    Probabilitas adalah Suatu ukuran tentang kemungkinan suatu peristiwa (event) akanterjadi di masa mendatang. Probabilitas dinyatakan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase.

2.     Percobaan adalah Pengamatan terhadap beberapa aktivitas atau proses yangmemungkinkan timbulnya paling sedikit dua peristiwa tanpa memperhatikan peristiwamana yang akan terjadi.

3.     Hasil (outcome) adalah Suatu hasil dari sebuah percobaan.

4.    Peristiwa (event ) adalah Kumpulan dari satu atau lebih hasil yang terjadi pada sebuah percobaan atau kegiatan.

b.   Rumus peluang:  
1. Probabilitas marginal

Probabilitas marginal merupakan probailitas yang tidak dibatasi oleh apapun, hanya kedua faktor utama di atas. Probabilitas marginal dapat dikatakan probabilitas tak bersyarat. Sebagai contoh adalah probabilitas pengambilan sebuah kelereng berwarna merah dalam sekali pengambilan pada sebuah kotak yang berisi 3 bola merah dan 7 bola biru. Dalam contoh ini, besarnya peluang terambilnya kelereng berwarna merah dibatasi oleh banyak sampel (yaitu 10 kelereng) dan banyaknya kejadian yang memungkinkan (terdapat 3 kelereng merah). Sehingga nilai probabilitas untuk contoh di atas adalah 3/10. 

2. Probabilitas kondisional,

Sesuai dengan namanya, maka jenis probabilitas ini terdapat kondisi yang turut membatasi nilai probabilitas yang dihasilkan. Probabilitas ini disebut juga dengan probabilitas bersyarat. Syarat atau kondisi inilah yang digunakan sebagai acuan untuk menentukan nilai probabilitas. Sebagai contoh sederhana adalah probabilitas pengambilan sebuah bola berwarna merah dari kotak A, dari 2 kotak (A dan B) yang memiliki kontent yang berbeda (kotak A = 2 merah + 3 putih ; kotak B = 3 merah + 4 putih).

Dalam contoh ini terdapat syarat yang secara implisit dapat dikatakan bahwa bola merah yang terambil harus berasal dari kotak A. Kotak A di sini menjadi acuan. Artinya yaitu kita harus melihat juga peluang kotak A dari kotak lainnya. Pada contoh ini dapat kita tentukan bahwa peluang kotak A dari kotak B adalah 1/2. Sedangkan besar peluang terambil bola merah dari kotak A sendiri yaitu 1/6. Probabilitas kondisional ditentukan dari perbandingan peluang kejadian bersyarat dengan peluang syarat itu sendiri dari seluruh sampel yang ada. Sehingga pada contoh di atas, nilai probabilitas kondisional untuk terambilnya bola merah dari kotak A adalah perbandingan antara peluang terambilnya bola merah dari kotak A dari seluruh sampel dengan peluang terambilnya bola dari kotak A terhadap seluruh sampel. Atau kita tuliskan menjadi (1/6) / (1/2) = 1/3. B, Probabilitas Suatu Kejadian

           

Teori probabilitas untuk ruang sampel berhingga menetapkan suatu himpunan bilangan yang dinamakan bobot dan bernilai dari 0 sampai 1sehingga probabilitas terjadinya suatu kejadian dapat dihitung. Tiap titik padaruang sampel dikaitkan dengan suatu bobot sehingga jumlah semua bobot sama dengan 1.

B.   Pendekatan Perhitungan Probabilitas

Ada dua pendekatan dalam menghitung probabilitas , yaitu : pendekatan yang bersifat objektif dan subjektif.  Probabilitas objectif dibagi menjadi dua , yaitu : pendekatan klasik dan pendekatan frekuensi relatif.

C.  Pendekatan klasik

Pendekatan klasik didasarkan pada banyaknya kemungkinan-kemungkinan yang dapat. Banyaknya hasil suatu percobaan

Prob suatu hasil =     terjadi pada suatu kejadian.

Seluruh kemungkinan hasil

Secara simbolis, Jika a adalah banyaknya kemungkinan kejadian A dan b adalah banyaknya kemungkinan kejadian yang bukan A, maka probabilitas kejadian A dapat dinyatakan sebagai berikut:

 P(A)=  a

           a+b

Dengan dasar anggapan bahwa masing-masing kejadian mempunyai kesempatan yang sama, jika pendekatan klasik dalam penerapan penentuan nilai probabilitas dapat dilakukan sebelum observasi, maka pendekatan ini sering disebut “ a priori approach”.

A.  Pendekatan Frekuensi Relatif

Pada pendekatan ini, nilai probabilitas ditentukan atas dasar proporsi dari kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu observasi atau percobaan. Tidak ada asumsi awal tentang kesamaan kesempatan, karena penentuan nilai-nilai probabilitas didasarkan pada hasil observasi dan pengumpulan data. Pendekatan ini disebut “emperical approach”. Misalnya berdasarkan pengalaman pengambilan data sebanyak N terdapat a kejadian yang bersifat A. Dengan demikian probabilitas akan terjadi A untuk N data adalah : Seluruh kemungkina n hasil. Banyaknya hasil suatu percobaan

P(A)= A/ N

Menurut pendekatan frekuensi relatif, probabilitas diartikan sebagai:

1.         Proporsi waktu terjadinya suatu peristiwa ddalam jangka waktu panjang, jika  kondisi stabil; atau

2.         Frekuensi relatif dari seluruh peristiwa dalam sejumlah besar percobaan Probabilitas berdasarkan pendekatan frekuensi relatif sering juga disebut Probabilitas Empiris. Nilai probabilitas ditentukan melalui percobaan. Sehingga nilai probabilitas itu merupakan limit dari frekuensi relatif peristiwa tersebut. Perhitungan probabilitas berdasarkan frekuensi relatif menggunakan limit dari frekuensi relatif yang diperoleh dari suatu percobaan.

Misalkan,

Fr = frekuensi relative

Xi = kejadian i

 Nilai probabilitas/peluang ditentukan atas dasar proporsi dari kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu observasi/percobaan (pengumpulan data).Jika pada data sebanyak N terdapat a kejadian yang bersifat A, maka probabilitas/peluang akan terjadi A untuk N data adalah: P (A) = a/N

Contoh:

Dari hasil penelitian diketahui bahwa 5 orang karyawan akan terserang flu pada musim dingin. Apabila lokakarya diadakan di Puncak, berapa probabilitas terjadi 1 orang sakit flu dari 400 orang karyawan yang ikut serta?

Jawab: P (A) = 5/400 = P (A) = 1/80

Probabilitas disajikan dengan symbol P, sehingga P(A) menyatakan probabilitas bahwa kejadian A akan terjadi dalam observasi atau percobaan tunggal, dengan 0 ≤ P(A) ≤ 1.

 Dalam suatu observasi/percobaan kemungkinan kejadian ada 2, yaitu “terjadi (P(A)) atau “tidak terjadi” (P(A)’), maka jumlah probabilitas totalnya adalah P(A) + P(A)’ = 1

Probabilitas matematis adalah idealisasi dari apa yang terjadi terhadap frekuensi relatif setelah pengulangan sejumlah tak hingga eksperimen random

Rumus

Probabilitas = Jumlah Frekuensi Kejadian : Jumlah Observasi 
B.    Pendekatan yang Bersifat Subyektif

Pendekatan subyektif dalam penentuan nilai probabilitas adalah tepat atau cocok apabila hanya ada satu kemungkinan kejadian terjadi dalam satu kejadian. Pada pendekatan ini, nilai probabilitas dari suatu kejadian ditentukan berdasarkan tingkat kepercayaan yang bersifat individual dengan berlandaskan pada semua petunjuk yang dimilikinya. Karena nilai probabilitas pada pendekatan ini merupakan keputusan pribadi atau individual, pendekatan ini disebut jg “personalistic approach”.

Menurut pendekatan subjectif probabilitas diartikan sebagai tingkat kepercayaan individu yang didasarkan pada peristiwa masa lalu yang berupa terkaan saja.

Misalkan : 

Seorang direktur akan memilih seorang supervisor dari empat orang calon yang telah lulus ujian saringan. Keempat calon tersebut sama pintar, sama lincah, dan semuanya dapat dipercaya. Probabilias tertinggi (kemungkinan diterima) menjadi supervisor ditentukan secara subjektif oleh sang direktur.

Dari pengertian-pengertian tersebut diatas, dapat kita susun pengertian umum mengenai probabilitas/peluang adalah suatu indeks atau nilai yang digunakan untuk menentukan tingkat kejadian suatu kejadian yang bersifat random (acak).

Jika tidak ada pengamatan masa lalu sebagai dasar, maka pernyataan probabilitas tersebut bersifat subyektif

Rumus: 

P(A)    = probabilitas terjadinya kejadian A

            X         = banyaknya peristiwa yang dimaksud

            n          = banyaknya peristiwa yang mungkin

Probabilitas memiliki batas mulai 0 sampai dengan 1 ( 0  P  1 )

a.    Jika P = 0, disebut probabilitas kemustahilan, artinya kejadian atau peristiwa tersebut tidak akan terjadi.

b.    P = 1, disebut probabilitas kepastian, artinya kejadian atau peristiwa tersebut pasti terjadi.

c.    Jika  0  P  1, disebut probabilitas kemungkinan, artinya kejadian atau peristiwa tersebut dapat atau tidak dapat terjadi.

Konsep Dasar Probabilitas 3 : Non Mutually Exclusive, Peristiwa Tak Bebas dan Peristiwa Bebas

C.  Mutually Exclusive

Mutual artinya sebuah hubungan yang saling berinteraksi (dua arah), dan sama levelnya. exclusive bermakna terbatas, hanya untuk kelompok tertentu, tidak menerima input dari luar, atau memberi output keluar. Mutually exclusive berarti saling exclusive, saling tidak berinteraksi, saling tidak mempengaruhi.

Rumus: P (A U B) = P (A atau B)= P (A) + P (B)

Contoh 1:

Kejadian Saling Meniadakan (Mutually Exclusive), yaitu kejadian yang tidak dapat terjadi secara bersama-sama dengan kejadian lainnya.

Contoh           : Hasil Ujian: Lulus vs Tidak lulus

Keadaan        : Dingin vs Panas

Cuaca            : Hujan vs Tidak Hujan

D.  Non Mutually Exclusive (dapat terjadi bersama)

Peristiwa Non Mutually Exclusive (Joint) dua peristiwa atau lebih dapat terjadi bersama-sama (tetapi tidak selalu bersama)

Contoh penarikan kartu as dan berlian :

P (A U B) =P(A) + P (B) – P(A ∩B)

Kejadian Tidak Saling Meniadakan (Non-Mutually Exclusive), yaitu kejadian yang dapat terjadi secara bersama-sama dengan kejadian lainnya.

Contoh1: Keadaan vs Cuaca  :     Dingin vs Tidak hujan

                                                            Dingin vs Hujan

                                                            Panas vsTidak hujan

                                                            Panas vs Hujan

E.  Peristiwa Tak Bebas ( Bersyarat)

Peristiwa tidak bebas > peristiwa bersyarat (Conditional Probability).

Dua peristiwa dikatakan bersyarat apabila kejadian atau ketidakjadian suatu peristiwa akan berpengaruh terhadap peristiwa lainnya.

Contoh:

Dua buah kartu ditarik dari set kartu bridge dan tarikan kedua tanpa memasukkan kembali kartu pertama, maka probabilitas kartu kedua sudah tergantung pada kartu pertama yang ditarik.

Simbol untuk peristiwa bersyarat adalah P (B│A) -> probabilitas B pada kondisi A

P(A ∩B) = P (A) x P (B│A)

Contoh soal:

Dua kartu ditarik dari satu set kartu bridge, peluang untuk yang tertarik keduanya kartu as adalah sebagai berikut: Peluang as I adalah 4/52 -> P (as I) = 4/52

Peluang as II dengan syarat as I sudah tertarik adalah 3/51

P (as II │as I) = 3/51

P (as I ∩ as II) = P (as I) x P (as II│ as I)

= 4/52 x 3/51 = 12/2652 =1/221

F.   Peristiwa Bebas

Apakah kejadian atau ketidakjadian suatu peristiwa tidak mempengaruhi peristiwa lain.

Contoh:

Sebuah coin dilambungkan 2 kali maka peluang keluarnya H pada lemparan pertama dan pada lemparan kedua saling bebas.

P(A ∩B) = P (A dan B) = P(A) x P(B)

Peristiwa Bebas (Hk Perkalian)

Contoh 1:

Sebuah dadu dilambungkan dua kali, peluang keluarnya mata 5 untuk kedua kalinya adalah:

P (5 ∩ 5) = 1/6 x 1/6 = 1/36

Contoh2:

Sebuah dadu dan koin dilambungkan bersama-sama, peluang keluarnya hasil lambungan berupa sisi H pada koin dan sisi 3 pada dadu adalah:

P (H) = ½, P (3) = 1/6

P (H ∩ 3) = ½ x 1/6 = 1/12

G.  Permutasi

Sedangkan permutasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup dengan memperhatikan urutan. Di dalam permutasi, urutan diperhatikan.

{1,2,3} tidak sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}

Contoh:

Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masing berwarna merah, hijau dan biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak dan urutan pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasi yang terjadi?

Solusi: Ada 6 permutasi yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.

Salah satu aplikasi kombinasi dan permutasi adalah digunakan untuk mencari probabilitas suatu kejadian.

Susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut disebut permutasi yang biasanya ditulis dengan lambang huruf P.

1.   Permutasi pengulangan

Jika urutan diperhatikan dan suatu objek dapat dipilih lebih dari sekali maka jumlah permutasinya di mana n adalah

 

banyaknya objek yang dapat dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih. Sebagai contoh:

 jika kamu memiliki huruf A, B, C, dan D dan kamu ingin mencari tahu ada berapa cara untuk menyusunnya dalam suatu grup yang berisi tiga angka maka kamu akan menemukan bahwa ada 43 atau 64 cara untuk menyusunnya. Beberapa cara untuk menyusunnya adalah: AAA, BBB, CCC, DDD, ABB, CBB, DBB, dst.

2.   Permutasi tanpa pengulangan

Jika urutan diperhatikan dan setiap objek yang tersedia hanya bisa dipilih atau dipakai sekali maka jumlah permutasi yang ada adalah:

di mana n adalah jumlah objek yang dapat kamu pilih, r adalah jumlah yang harus dipilih dan ! adalah simbol faktorial. Sebagai contoh, ada sebuah pemungutan suara dalam suatu organisasi. Kandidat yang bisa dipilih ada lima orang. Yang mendapat suara terbanyak akan diangkat menjadi ketua organisasi tersebut. Yang mendapat suara kedua terbanyak akan diangkat menjadi wakil ketua. Dan yang mendapat suara ketiga terbanyak akan menjadi sekretaris.

Ada berapa banyak hasil pemungutan suara yang mungkin terjadi? Dengan menggunakan rumus di atas maka ada 5!/(5-3)! = 60 permutasi.Umpamakan jika n = r (yang menandakan bahwa jumlah objek yang bisa dipilih sama dengan jumlah yang harus dipilih) maka rumusnya menjadi :

karena 0! = 1! = 1

Sebagai contoh, ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak kosong itu harus diisi (tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh diisi dengan angka 1,2,3,4,5. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong? Dengan menggunakan rumus n! maka ada 5! = 120 permutasi.

H.       Kombinasi

Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan. Di dalam kombinasi, urutan tidak diperhatikan.

{1,2,3} adalah sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}.

Contoh:

 Seorang anak hanya diperbolehkan mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan yaitu amplop A, amplop B dan amplop C. Tentukan ada berapa banyak kombinasi untuk mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan?

Solusi: Ada 3 kombinasi yaitu; A-B, A-C dan B-C.

1.   Kombinasi tanpa pengulangan

Ketika urutan tidak diperhatikan akan tetapi setiap objek yang ada hanya bisa dipilih sekali maka jumlah kombinasi yang ada adalah:

Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih. Sebagai contoh, kamu mempunyai 5 pensil warna dengan warna yang berbeda yaitu; merah, kuning, hijau, biru dan ungu. Kamu ingin membawanya ke sekolah. Tapi kamu hanya boleh membawa dua pensil warna. Ada berapa banyak cara untuk mengkombinasikan pensil warna yang ada? Dengan menggunakan rumus di atas maka ada 5!/(5-2)!(2)! = 10 kombinasi.

2.   Kombinasi pengulangan

Jika urutan tidak diperhatikan dan objek bisa dipilih lebih dari sekali, maka jumlah kombinasi yang ada adalah:

Di mana n adalah jumlah objek yang bisa dipilih dan r adalah jumlah yang harus dipilih. Sebagai contoh jika kamu pergi ke sebuah toko donat. Toko donut itu

menyediakan 10 jenis donat berbeda. Kamu ingin membeli tiga donat. Maka kombinasi yang dihasilkan adalah (10+3-1)!/3!(10-1)! = 220 kombinasi.